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Barycentre

Le barycentre est un objet mathématique (géométrie analytique) construit à  partir d'autres objets. Il correspond en statistiques à  la notion de moyenne (ou espérance), en physique (cinématique, mécanique du point) à  la notion de centre d'inertie (ou "centre de masse" ou "centre de gravité"), et en mécanique du solide à  la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique).

Considérons deux points A1 et A2 de l'espace, définis par leurs coordonnées cartésiennes respectives (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2). On associe le nombre m1 à  A1 et le nombre m2 à  A2 ; ces nombres sont appelés masses ou coefficients de pondération et leur total ne peut être nul.

Le barycentre de ce système ((A1,m1),(A2,m2)) est le point G dont les coordonnées (xG,yG,zB) sont les moyennes pondérées des points du système :

Si m1 = m2, alors G est le milieu de [A1A2]. Si m1 > m2, alors G est plus proche de A1 que de A2. De manière globale, on a

Si l'on a maintenant trois points pondérés (A1,m1), (A2,m2) et (A3,m3), alors on définit de même le barycentre G par les moyennes pondérées des coordonnées
Considérons G1 le barycentre du sous-système ((A1,m1),(A2,m2)). On peut montrer que G est aussi le barycentre du système ((G1,m1+m2),(A3,m3)). En clair :
Dans le calcul du barycentre, on peut remplacer deux points par leur barycentre pondéré de la somme des coefficients de pondération des deux points.
On peut ainsi découper le système en sous-systèmes pour simplifier le calcul.

Si l'on a n points Ai associés chacun à  un coefficient mi, alors le barycentre G a pour coordonnées

On peut montrer que l'on peut remplacer deux points pondérés, par exemple (A1,m1) et (A2,m2), par leur barycentre pondéré de la somme des pondérations (G1,m1+m2), dans le système, pour obtenir le même barycentre ; on a

On peut utiliser la notation dite des "coordonnées généralisées" :
xi est noté x1i
yi est noté x2i
zi est noté x3i
Les coordonnées du barycentre G (x1G,x2G,x3G) vérifient donc

On peut définir le barycentre pour un ensemble infini de points. Soit les points sont discrets, on a alors une série ; soit les points forment un ensemble continu, on a alors un fonction de pondération f(x1,x2,x3), continue, les coordonnées du barycentre valent alors
Si l'on se ramène à  une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :