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Ellipse

    

Une ellipse est un cercle allongé dans une direction. L'orbite des planètes et des comètes autour du Soleil est une ellipse. L'ellipse, c'est aussi la forme que l'on voit lorsque l'on regarde en diagonale un cercle dessiné sur une feuille. L'ellipse est un ovale particulier ; la forme d'un ballon de rugby est une ellipse (on parle donc de "ballon ovale", mais on pourrait préciser "ballon elliptique").

Sommaire
1 Définitions géométriques
2 Rapport entre les grandeurs
3 Equations caractéristiques
4 Tracer une ellipse
5 Autre acception

Définitions géométriques

L′ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l'intersection d'un plan avec un cà´ne de révolution lorsque ce plan traverse de part en part le cà´ne. Le cercle est un cas particulier de l'ellipse.

Directrice et foyer

Soient une droite et un point distinct de . On appelle ellipse de droite directrice et de foyer l'ensemble des points du plan P (défini comme l'unique plan contenant la droite et le point ) vérifiant :

oà¹
mesure la distance du point M au point F et : mesure la distance du point M à  la droite D.

La constante e est appelée excentricité de l'ellipse. >

Propriétés géométriques

Distance par rapport aux foyers

Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle ellipse l'ensemble des points M du plan vérifiant la proprité suivante :

Tangente et bissectrice

Soit une ellipse dont les foyers sont F et F′. En un point A de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire(FAF′). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à  la tangente en A.


En un point, la bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant le point aux foyers est perpendiculaire à  la tangente en ce point

Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyer, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à  un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.

Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à  l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à  un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai).

Rapport entre les grandeurs

Equations caractéristiques

équations cartésiennes

forme paramétrique

équation polaire

Tracer une ellipse


Tracé d'une ellipse à  l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue


Ellipse servant à  représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite) ; le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage


Ellipse servant à  représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)


Tracé d'une ellipse à  main nue à  l'aide d'un parallélogramme

Autre acception

L'ellipse est aussi une figure de rhétorique, voir l'article Ellipse (rhétorique).