Logique

La logique est l'étude des conditions formelles de la vérité, la science des formes valides du raisonnement. Elle est une partie de la philosophie et des mathématiques,

Sommaire

1 Division de la logique 2 Philosophie 2.1 Antiquité 2.2 XIXè siècle 2.3 Liens 3 Mathématique 3.4 Notions élémentaires de logique formelle 3.5 Quantification 4 Automatisme et Informatique

Division de la logique

• Les syllogismes aristotéliciens
• Le calcul des propositions
• Calcul des prédicats
• Les logiques multivalentes :
  • La logique trivalente
  • La logique tétravalente
  • Les logiques à  plus de 4 valences
  • Les logiques à  une infinité de valences (cf. probabilités)
• Les logiques modales :
  • La logique épistémique
  • La logique déontique
• Les logiques affaiblies
• Les paradoxes
• L'unification en logique
• La logique floue

Philosophie

Antiquité

La logique est à  l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non-contradictoire. Par suite, elle est un outil (organon) assurant la cohérence de la reflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.
La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :

• La cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
• La cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : "adequatio rei et intellectus", l'accord du contenu avec la réalité.
  

Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.
En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à  la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même.

La logique a très tà´t été utilisée contre elle-même, c'est-à -dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : "ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées". La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen à‚ge, est restée soumise à  la pensée de l'être.

XIXè siècle

Kant, quant à  lui, définit la logique comme une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée. L'Å“uvre d'Aristote appelée l\Organon''', o๠figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle non prédicative, à  partir du XIXe siècle, a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept.

La logique a pour origine la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être. Il a fallu attendre le début du XXe siècle pour que l'évidence de cette bivalence soit remise en question : des logiques trivalentes, ajoutant une valeur indéterminée, sont alors inventées (Kleene, Lukasiewicz, Bochvar). Mais celles-ci, se généralisant en logiques polyvalentes, ne remettaient néanmoins pas en question l'appartenance stricte d'une proposition à  l'une (et une seule) de ces valeurs. C'est à  partir de 1965 que Zadeh élabore une logique floue (fuzzy logic) dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Loin du monde tranché de la certitude classique, un monde flou se révèle dans toute sa complexité.

Liens

• Tractatus Logico-Philosophicus

(à  suivre)

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Mathématique

Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à  la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

Notions élémentaires de logique formelle

La logique utilisée communément en mathématiques est la logique classique dont on peut étudier deux parties : le calcul des propositions (sans quantification) et le calcul des prédicats (avec quantification sur les variables propositionnelles).

La logique classique est nommée ainsi par opposition à  la logique intuitionniste qui n'autorise pas l'utilisation du principe du tiers exclu.

La définition d'une logique se fait en trois étapes :

• Définition de la syntaxe via une grammaire formelle, il s'agit de préciser les énoncés autorisés.
• Définition de la sémantique : définition des modèles, c'est-à -dire comment déterminer, connaissant les valeurs des variables, la valeur de vérité d'un énoncé.
• Définition d'une théorie de la preuve qui donne les méthodes qui permettent de déduire des conséquences logiques d'un ensemble d'énoncés.

On ne définit pas à  proprement parler les notions de vrai et faux; on se contente de déterminer les règles avec lesquelles on les manipule.

Quantification

Il existe essentiellement deux quantificateurs en logique classique, ∃ (il existe) et ∀ (pour tout).

Automatisme et Informatique

Dans ces deux domaines la logique est omniprésente et représente le fondement de ces diciplines.

• En automatisme, afin de pouvoir ordonner des processus en fonction de conditions précises, un fonctionnement logique est nécessaire. A l'aide d'opérateurs logiques simples et combinés la logique combinatoire permet de déterminer des conditions et des prises de décisions automatisées. Autrefois, les automates contenaient de multiples relais assurant ces fonctions, aujourd'hui, ce sont en fait des micro-ordinateurs spécialisés avec une interface homme/machine adapté.
• En informatique:
  • Dans la partie électronique numérique, les mêmes opérateurs logiques sont utilisés en grand nombres.
  • Dans la partie logiciel, les opérateurs de logique booléenss des langages de programmation sont très utilisés, comme système de comparaison et de prise de décision.
  • Au niveau des langages de programmation, il existe des relations profondes entre la logique intuitionniste et le lambda-calcul (et donc les langages fonctionnels). L' isomorphisme de Curry-Howard propose de voir les propositions comme des types, et une preuve d'une proposition P comme un terme ayant le type P. On obtient alors des règles identiques à  celles utilisées pour le typage des termes du lambda-calcul. Cette approche est utilisée dans un certain nombre de logiciels d'aide à  la preuve, comme Coq ou HOL. Enfin, l'ajout de continuations au langage permet de retrouver la logique classique, le type de ces nouveaux termes pouvant être rapproché du tiers-exclus.