Logique (mathématiques)
| Sommaire |
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2 Axiomes et théorèmes 3 Le calcul des prédicats 4 Vers la théorie des ensembles 5 Voir aussi |
à€ partir de ces deux signes, nous pouvons construire d’autres symboles ou abréviations utiles :
Par exemple, la proposition P : « 8 est un nombre pair », peut être représentée sous la forme P{8}, o๠P est le prédicat « est un nombre pair », et 8 est son argument.
Si P est une proposition, x un objet indéterminé, et a un objet mathématique, l’assemblage obtenu en remplaçant x par a dans P est encore une proposition notée
Pour mettre en évidence un objet indéterminé x dans une proposition P, on écrit la proposition sous la forme P{x} ; et on note P{a} la proposition (a|x)P.
Soit P une proposition, x un objet indéterminé, et a un objet mathématique donné. Si P est vraie, alors P{a} est vraie.
Et tout cela se généralise au cas de plusieurs objets indéterminés.
Soit une proposition P et x un objet indéterminé. Nous pouvons considérer la proposition :
Symboliquement, nous écrivons :
Nous définissons, à partir de ∃ le symbole ∀ :
Soit P une proposition et x un objet indéterminé, la proposition notée ∀ x P est la proposition
∀ s’appelle le quantificateur universel.
Évidemment, la proposition (∀ x P) est fausse si et seulement si (∃ x ¬ P) est vraie.
Soient P et Q deux propositions et x un objet indéterminé.
Soient P une proposition et x un objet indéterminé.
Intuitivement, l’implication réciproque est fausse en général, parce que si pour chaque y, il existe un x tel que P soit vraie, ce x pourrait dépendre de y et varier suivant y. Ce x pourrait donc ne pas être le même pour tout y tel que P soit vraie.
Nous nous contenterons de la définition intuitive :
Soient a et b deux objets. a=b signifie que a et b représentent des objets identiques, et se lit « a est égal à b »
≠est définie par a ≠b si ¬(a=b)
Propriétés :
Si a et b sont deux objets a ∈ b se lit :
a ∉ b se lit « a n’appartient pas à b »
Théorème :
Soient a et b deux objets mathématiques.
Les opérations logiques élémentaires
Les propositions et les objets mathématiques, sont des assemblages de symboles et de lettres formés en suivant certaines règles de logique. Les deux signes les plus simples qui servent à former des propositions sont ∨ et ¬ souvent notés ou et non en mathématiques.
La disjonction
La disjonction de deux proposition P et Q est la proposition notée P ∨ Q ou « P ou Q » qui est vraie si l’une au moins des deux propositions est vraie, et fausse si les deux propositions sont fausses.
La négation
La négation d’une proposition P, est la proposition notée ¬P, ou « non P » qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.La conjonction
Le conjonction de deux propositions P et Q est la proposition suivante :
Celle-ci est notée P ∧ Q ou « P et Q » et n’est vraie que lorsque P et Q sont vraies et fausse si l’une des deux propositions est fausse.
L'implication
L'implication de Q par P, est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q » ou « P implique Q », et qui est fausse seulement si P est une proposition vraie et Q fausse.
L'équivalence
L'équivalence logique de P et Q est la proposition ( (P ⇒ Q) ∧ ( Q ⇒ P) ) ( ((P implique Q) et (Q implique P) )) , notée « P ⇔ Q » ou (P est équivalant à Q).
Axiomes et théorèmes
Par assemblage, des symboles ou lettres introduites précédemment nous pouvons construire des propositions plus complexes, des assertions vraies ou des théorèmes ; et ainsi développer des théories. Mais nous devons au départ énoncer des propositions qui seront considérées, une fois pour toute, comme vraies et fixer des règles de transformation, permettant d’obtenir des propositions à partir d’autres. Ces propositions et règles de logique sont les axiomes. Toute proposition obtenue à partir d’un axiome ou d’une proposition vraie au moyen d’une implication sera considérée comme vraie.
Le calcul des prédicats
Substitution
Il est également possible de construire à partir d’une proposition P, d’autres propositions en remplaçant un objet mathématique indéterminé x dans la proposition partout o๠il intervient, par un autre objet mathématique a.
Ou par exemple, la proposition « Les droites D et D’ sont parallèles » peut être représentée sous la forme P{D, D’} o๠P est le prédicat « sont parallèles » et les droites D et D’ sont les arguments.
et s’appelle proposition obtenue par substitution de x par a dans P.Les quantificateurs
Il existe encore un autre procédé logique, permettant de construire d’autres propositions à partir d’une proposition.
c'est à dire
« il existe un objet » signifie intuitivement « nous pouvons trouver au moins un objet ».
ou
ce qui se lit :
Ce signe ∃ s’appelle le quantificateur existenciel.
et se lit « pour tout x, P »
ou « quel que soit x, on a P vraie »Utilisation des quantificateurs
Propriétés élémentaires
Propriétés utiles
(Implication réciproque fausse en général)
La dernière implication dit que s’il existe un x, tel que pour tout y, on ait P vraie, alors pour tout y, il existe bien un x\ (celui obtenu avant) tel que P soit vraie.
(Implication réciproque fausse)Vers la théorie des ensembles
La théorie des ensembles est à la base de nombreuses théories mathématiques. Outre les symboles de logique énumérés précédemment, cette théorie utilise des autres symboles = et ∈ permettant de mettre des objets mathématiques en relation. Les objets mathématiques sont appelés des ensembles.
L’égalité
Le signe de l’égalité se note
et représente la relation d’égalité entre objets mathématiques.L’appartenance
Le signe de l’appartenance se note :
et représente la relation d’appartenance d’un objet à un autre.
ou encore
∉ se définit par a ∉ b si ¬(a ∈ b) vraie.
Pour les régles d'utilisation de ces symboles reportez vous à l'article langage formel mathématique.
Voir aussi
