Loi de Poisson
La loi de Poisson de paramètre λ ou loi des événements rares correspond au modèle suivant:Sur une période T, un événement arrive en moyenne λ fois (λ inférieur à 5). On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois o๠l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...
Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par
- o๠e est la base de l'exponentielle (2,718...)
| Sommaire |
|
2 Espérance, variance, écart type 3 Domaine d'application 4 Diagrammes en bà¢tons 5 Somme de variables aléatoires 6 Voir aussi 7 Lien externe |
Calcul de p(k)
Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.
Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.
La variance d'une loi de Poisson est λ.
Son écart type est donc
Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrà´le de qualité statistique, la description de la désintégration radioactive, la biologie, la météorologie, ...
Le diagramme en bà¢tons de la loi de Poisson de paramètre 5 commence à ressembler à une discrétisation d'une loi normale d'espérance 5 et de variance 5. C'est la raison pour laquelle, pour λ > 5, on travaille plutà´t sur un modèle de loi normale.Espérance, variance, écart type
L'espérance d'une loi de Poisson est par construction λDomaine d'application
Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événement rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dà»s aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislas Bortkiewicz).Diagrammes en bà¢tons
Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bà¢tons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bà¢tons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.
