Loi normale
Une variable aléatoire d'espérance E(X) et d'écart type σ suit une loi normale ou loi normale Gaussienne ou loi de Laplace-Gauss si sa densité de probabilité est :
| Sommaire |
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2 Gaussienne centrée réduite 3 Plages de normalité 4 Champ d'application 5 Somme de variables gaussiennes 6 Mélange de populations 7 Voir aussi 8 Lien externe |
Calcul de p(a < X < b)
La densité précédente n'a pas de primitive simple dans R. Son intégrale sur R se calcule en utilisant la théorie des résidus.
Son intégrale sur [a ; b] se calcule par valeur approchée. Si certaines calculatrices ou tableurs donnent maintenant ces valeurs, il est encore fréquent d'utiliser des tables numériques. Il n'est pas possible d'avoir autant de tables que de lois normales. On utilise alors la seule table d'une loi normale centrée réduite d'espérance nulle et d'écart type 1.
Par changement de variable, on remarque que si T = et si X est gaussienne, alors T est aussi gaussienne d'espérance nulle et d'écart type 1, bref T suit une loi de probabilité gaussienne centrée réduite.
Si on pose et
Alors p(a < X < b) = p(a' < T < b') . Il suffit donc de connaitre p(a' < T < b') pour tout a' et b'.
Gaussienne centrée réduite
Une loi normale gaussienne centrée réduite a pour espérance 0 et pour écart type 1.Sa densité de probabilité est :
Des tables numériques fournissent les valeurs de la fonction F définie pour t > 0 par:
- F(t)= p([0 ; t]=.
| t | ,0 | ,1 | ,2 | ,3 | ,4 | ,5 | ,6 | ,7 | ,8 | ,9 |
| 0 | 0 | 0,0398 | 0,0793 | 0,1179 | 0,1554 | 0,1915 | 0,2257 | 0,2580 | 0,2881 | 0,3159 |
| 1 | 0,3413 | 0,3643 | 0,3849 | 0,4032 | 0,4192 | 0,4332 | 0,4452 | 0,4554 | 0,4641 | 0,4713 |
| 2 | 0,4772 | 0,4821 | 0,4861 | 0,4893 | 0,4918 | 0,4938 | 0,4953 | 0,4965 | 0,4974 | 0,4981 |
| 3 | 0,4987 | 0,4990 | 0,4993 | 0,4995 | 0,4997 |
Par exemple la probabilité que T soit compris entre 0 et 1,7 est :
- F(1,7) =0,4554
Il est alors possible de calculer, pour tout t, p(]- ∞ ; t])
- si t > 0 cela vaut 0,5 + F(t)
- si t < 0 cela vaut 0,5 - F(t)
- p(]- ∞ ; b'[)- p(]- ∞ ; a'[)
Plages de normalité
Grà¢ce au tableau précédent, on peut lire que la probabilité est de 68,26%. c'est aussi la probabilité si X est une gaussienne. En statistique, cet intervalle est appelé plage de normalité de niveau de confiance 68%, c'est l'intervalle dans lequel se trouve 68% de la population si la distribution est gaussienne.De même, = 95,44%, et l'intervalle est la plage de normalité à niveau de confiance 95%.
Enfin, = 99,74%, et l'intervalle est la plage de normalité à niveau de confiance 99,7%.
Champ d'application
La loi normale s'utilise comme approximation d'une loi binomiale de paramètres (n ; p) pour n grand et p et 1-p de même ordre de grandeur. C'est une loi normale d'espérance np et d'écart type
On a dessiné ci-dessous un diagramme en bà¢tons d'un loi binomiale de paramètres (12 ; 1/3) et la loi normale correspondante d'espérance 4 et d'écart type
puis un diagramme en bà¢tons d'un loi binomiale de paramètres (60 ; 1/3) et la loi normale correspondante d'espérance 20 et d'écart type
Gauss initialement a utilisé cette distribution pour le calcul d'erreurs.
En statistiques, de nombreux phénomènes suivent des distributions gaussiennes : données biométriques des individus (Adolphe Quételet), mesure du Quotient Intellectuel, à compléter par des spécialistes...
Somme de variables gaussiennes
La somme de deux variables gaussiennes indépendantes X et Y est une variable gaussienne d'espérance E(X) + E(Y) et de variance V(X)+ V(Y).
Exemple :Si le contenu d'une boite de conserve suit une une loi gaussienne de moyenne 400 g et d'écart type 5 g , si le contenant de la boite de conserve suit une loi gaussienne de moyenne 60 g et d'écart type 2g, la boîte de conserve suit une loi gaussienne de moyenne 460 g et d'écart type .
