Mécanique hamiltonienne
La
mécanique hamiltonienne a été inventée par Hamilton en
1833.
Comme la mécanique lagrangienne, c'est une reformulation de la
mécanique classique.
En mécanique lagrangienne, les équations du mouvement dépendent des coordonnées généralisées {qj | j=1,...N} et des vitesses correspondantes {qj′ | j=1,...N}.
En abusant des notations, le lagrangien peut s'écrire ainsi: L(qj, qj′, t), les variables indicées représentant les N variables de ce type.
En mécanique hamiltonienne, chaque vitesse généralisée est remplacée par la quantité de mouvement associée, aussi appelé moment conjugué:
En coordonées cartésiennes, les quantités de mouvement sont équivalentes aux moments linéaires, alors qu'en coordonnées polaires elles correspondent aux moments angulaires.
Lorsque les coordonnées généralisées sont choisies arbitrairement, il n'est plus possible de donner une interprétation intuitive aux moments conjugués.
L'hamiltonien H est la transformée de Legendre du lagrangien:
- .
Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps
t, on peut montrer que
H est égal à l'énergie totale
E, elle-même etant égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle
V (
H =
E =
T +
V).
Sous forme différentielle, les deux membres de la définition de
H deviennent:
- .
En utilisant la définition des moments conjugués donnée précédement, on obtient les équations du mouvement de Hamilton, dites
equations canoniques de Hamilton:
Les équations de Hamilton sont des équations différentielles du premier ordre et donc plus facile à résoudre que les équations de Lagrange qui sont du second ordre.
Néamoins, les étapes qui conduisent à ces équations sont plus complexes que celles de la mécanique lagrangienne:
a partir des coordonnées généralisées et du lagrangien, il faut calculer l'hamiltonien, exprimer les vitesses généralisées en fonction des moment conjugués et remplacer celle-ci dans la définition de l'hamiltonien.
Finalement, il y a peu d'avantages d'utiliser la méthode d'Hamilton plutot que cellle de Lagrange, les deux produisant bien sur les mêmes résultats.
l'avantage principal de l'approche hamiltonienne est de fournir, grace à la simplicité de son formalisme, un fondement théorique en mécanique.
Par exemple, la mécanique quantique utilise un formalisme basé sur celui de la mécanique hamiltonienne.
On pourra aussi noter une certaine similitude entre les équations canoniques d'Hamilton et les équations de Maxwell.
