Mécanique quantique
La mécanique quantique au sens strict (telle qu'elle est enseignée) décrit le comportement des particules microscopiques (électrons, protons, neutrons, ou des systèmes plus complexes tels qu'atomes et molécules) dans un cadre non-relativiste et dans le cas o๠les particules sont conservées. Plus largement, on parle de physique quantique.
Le rayonnement du corps noir, est le rayonnement produit par un corps en équilibre thermodynamique avec son milieu. Nous pouvons nous le représenter en prenant une enceinte ferméé percée d'un trou minuscule. Le matériau est parfaitement absorbant, le rayonnement émis à l'intérieur de l'enceinte subit de multiple réflexion, émission, absorption avant de sortir par le trou. Il est clair que ce rayonnemnt ne dépend pas de la nature du matériau, mais de sa température. Nous appelons ce rayonnement : rayonnement du corps noir.
A la fin du XIXème siècle, la théorie classique était impuissante pour expliquer la théorie du rayonnement du corps noir, aboutissant à la catastrophe ultra-violette, o๠l'énergie totale émise divergeait, ce qui est complètement inacceptable.
Max Planck proposa en 1900 une loi, qui porte son nom, qui décrivait bien la densité du rayonnement en fonction de la température. Cette loi impose de penser le rayonnement électromagnétique comme étant quantifié, échangé par paquet : Cette loi sera par la suite démontrer par Einstein.
La loi de Planck s'écrit :
Au début du XXème siècle, les physiciens ont remarqué que lorsque nous éclairons un métal avec une lumière, celui-ci émet des électrons. Leur énergie dépend de la longueur d'onde de la lumière incidente, et leur nombre dépend de l'intensité lumineuse, ce qui est incompréhensible au sein du modèle ondulatoire de la lumière. Si la lumière incidente a une fréquence en dessous d'un certain seuil, rien ne se passe.
Einstein proposa en 1905 un article expliquant ce phénomène. Les photons son porteur de l'énergie . Les électrons absorbant les photons acquièrent cette énergie, si elle est suffisante, les atomes sont ainsi ionisés. Et donc les électrons ont alors l'énergie :
Cet article lui valut le titre de docteur dès 1905, et le prix nobel de physique en 1921.
Toujours à la fin du XIXème siècle, les physiciens ont constaté que les électrons pouvaient intéragir avec les photons, telles des boules de billard, avec des chocs élastiques. Les photons étaient alors diffusés suivant une autre direction. La théorie classique n'arrive pas à prévoir la variation de longueur d'onde en fonction de la direction de diffusion. La théorie quantique propose cette équation poour la diffusion des électrons :
D'o๠:
Alors qu'il était clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, Louis De Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues, même si les interférences des électrons n'étaient pas encore observées. Louis De Broglie proposa d'associer à chaque particule d'énergie E, un pulsation \
u, d'impulsion p une longueur d'onde \\lambda. Les relations de De Broglie s'écrivent :
Au début du XXe siècle, l'observation expérimentale des spectres formés de raies monochromatiques, des effets à seuil tel que l'effet photoélectrique et aussi de l'analyse par Max Planck du rayonnement d'un corps chaud plus connu sous le nom du rayonnement du corps noir, conduisit à remettre en question toute une partie de la physique connue à l'époque.
Ainsi on fut amené à émettre l'hypothèse que le rayonnement électromagnétique était quantifié:
l'énergie transportée par ce rayonnement ne pouvait pas prendre n'importe quelle valeur,
mais uniquement un multiple d'une valeur qu'on a appelé quantum de lumière, ou photon.
Cette hypothèse fut d'abord émise par Max Planck puis par Einstein qui reçu le prix Nobel pour son interprétation de l'effet photoélectrique, premier signe tangible de l'existence des photons.
Cette relation qui exprime la quantification de l'énergie s'écrit ainsi:
Cette relation n'est pas toujours applicable : en effet les transferts d'énergie sont quantifiés ; un atome ne peut se placer qu'à des niveaux d'énergie bien définis, et si une onde électromagnétique apporte trop ou pas assez d'énergie, l'atome n'absorbera rien.
A chaque particule est associée une onde. Il est connu en mécanique classique qu'un onde plane se propageant dans la direction des x positifs de pulsation \\omega s'écrit :
Les relations d'incertitude d'Heisenberg traduisent l'impossibilité de connaître simultanément la position et l'impulsion d'une particule avec une précision infinie. Il est clair qu'il faut abandonner la notion classique de trajectoire, de particules ponctuelles. De plus la deuuxième inégalité correspond au temps nécessaire à la détection d'une particule d'énergie E. (ce concept est primordial en théorie quantique des champs qui fait appel aux particules virtuelles).
Un autre problème se posait à l'époque, celui des niveaux d'énergie
des atomes, qui étaient discrets, et non continus comme pouvait le laisser
prévoir la mécanique classique.
La mécanique quantique a apporté une réponse à cette question, en considérant
que les particules de matière étaient non pas des particules ponctuelles, mais
qu'elles avaient une étendue spatiale et qu'elles se comportaient comme des
ondes (voir la mécanique ondulatoire de De Broglie).
Un autre grand succès de la mécanique fut de résoudre le paradoxe de Gibbs, une constatation que selon la mécanique classique, l'entropie n'est pas une propriété extensive. L'accord entre les mesures et la théorie fut rétabli par la mécanique quantique en tenant compte du fait que des particules identiques ne sont, en général, pas distinguables.
Elle permet de décrire les structures électroniques des atomes et des
matériaux, et permet ainsi d'expliquer le comportement des supra-conducteurs, de la matière condensée (cristaux et leurs vibrations appelées phonons, structure de bandes, comportement des semi-conducteurs, effet tunnel).
La théorie quantique qui décrit ce qui se passe dans un cadre relativiste, le seul à pouvoir prendre en compte la non conservation des particules et donc les désintégrations nucléaires, est la théorie quantique des champs.
La théorie des quanta, explication du rayonnement du corps noir
L'effet photoélectrique
L'effet Compton
Considérons un photon venant de la gauche se dirigeant vers la droite avec une impulsion , celui-ci est diffusé par un électron au repos, dans une direction faisant un angle par rapport à l'horizontal, et l'électron prenant une direction , l'impulsion du photon sera et celui de l'électron . Nous allons appliquer la loi de la conservation de l'impulsion, et de la conservation de l'énergie.
Cela donne :
On additionne (1) et (2) :
On obtient :
Alors ici, il faut s'accrocher, on considère que p est proche de p',
On remarque que :
Or : d'o๠:
CQFDLes relations de De Broglie
La relation fréquence/énergie
oà¹
Cette relation exprime qu'il y a un lien direct et universel entre la fréquence d'un rayonnement électromagnétique et les variations d'énergie qui se sont produites : les deux sont simplement proportionnel.L'équation de Schrà¶dinger
Nous pouvons généraliser cette expression en 3 dimensions :
Il est alors clair que si l'on veut obtenir l'énerfie, il suffit de dériver par rapport au temps, et pour obtenir l'impulsion, on prend le gradient :
L'hamiltonien permettant de donner l'énergie du système est donné par l'expression classique :
Cette équation est valable pour de petites vitesses. Il existe une équation d'onde relativiste correspondant à l'équation de Klein-Gordon. Tout d'abord écrivons l'équation de l'énergie pour une particule relativiste :
L'équation de Klein-Gordon s'écrit alors :
Cette équation est valable en physique quantique relativiste pour les bosons non chargés, comme par exemple le photon. Il existe une autre équation pour les fermions : l'équation de Dirac.Les inégalités de Heisenberg
Les réponses apportées par la mécanique quantique
Quelques paradoxes : le chat de Schrà¶dinger, Einstein Podolski Rosen
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