Mécanique statique
La mécanique statique est l'étude d'un système mécanique au repos dans un repère galiléen.
A l'intention des professeurs, nous donnons une méthode rapide de correction des problèmes de statique.
On appelle point matériel un objet idéal de dimensions nulles (assimilable à un point) mais doté d'une masse.
Statique du point
(les forces s'opposent et s'annulent)
Par la suite, nous représenterons des objets volumiques, mais comme on s'intéresse au mouvement du centre d'inertie G de cet objet (cf. cinématique), tout se passe comme si les forces s'appliquaient sur G, la point matériel est alors G doté de la masse de l'objet.
La force est un modèle (sous la forme d'un vecteur) qui sert à représenter les interactions indépendamment de leur cause (poids, traction d'un cà¢ble, force électrostatique ou magnétique...).
La manière la plus simple de la représenter est de considérer la traction par un cà¢ble.
En effet, le vecteur force est nécessairement dans la direction du cà¢ble et dans le sens de la traction, son point d'application est le point d'attache du cà¢ble à l'objet.
Si par exemple on considère un objet relié à trois cà¢bles et non soumis à son poids (l'expérience se déroule dans la navette spatiale, en état d'apesanteur), la condition d'équilibre est très simple :
si , et sont les forces qu'exercent les cà¢bles sur l'objet, alors
Le poids est une force, notée , qui s'exerce en tout point de l'objet.
On peut la résumer en une force unique s'appliquant au centre d'inertie G de l'objet ; en fait, on peut représenter le poids par un cà¢ble tirant vers le bas et attaché au "centre" de l'objet.
Dans le modèle de la gravité de Newton,
le poids est obtenu en multipliant la masse m de l'objet par l'accélération de la gravité,
c'est-à -dire l'accélération qu'ont tous les objets en chute libre si l'on néglige le frottement de l'air
(en effet, s'il n'y avait pas de frottement de l'air, tous les objets tomberaient avec la même accélération quelque soit leur forme et leur masse)
Exemples de forces
Si l'on a un objet immobile suspendu à un fil, alors la somme vectorielle de la traction du fil et du poids de l'objet est nulle
Si un objet est posé immobile sur un support, une table, il est soutenu par ce support. Le support exerce donc une force sur l'objet, qui compense exactement le poids ; cette force est appelée réaction du support et est notée . Si le contact entre l'objet et le support est réduit à un point (cas d'une sphère posée sur un plan), le point d'application de la réaction est ce point de contact. Sinon, la réaction du support est répartie sur toute la surface de contact entre le support et l'objet, mais elle peut se résumer an une force unique dont le point d'application est le barycentre (le " milieu") de la surface de contact. Dans ce cas simple, on a
- soit
Lorsqu'un objet A exerce une force (appelée "action") sur un objet B, l'objet B exerce une force opposée (appelée "réaction") sur l'objet A.
Ainsi, dans le cas d'un objet suspendu à un cà¢ble, la cà¢ble exerce une traction sur l'objet, donc l'objet exerce aussi une traction sur le cà¢ble (c'est pour cela qu'il est tendu). Dans le cas d'un objet posé sur un support, le supportexerce une force sur l'objet (la réaction du support), donc l'objet exerce lui aussi une force sur le support (la pression de l'objet).
On voit qu'un des éléments fondamentaux est de bien définir le système sur lequel on travaille. On considère les forces qu'exercent les éléments extérieurs au système sur le système lui-même. Ainsi, dans le cas de l'objet suspendu au cà¢ble, on peut choisir comme système :
D'après le principe de l'action et de la réaction, on en déduit que
Dans de nombreux problèmes simples, la réaction du support est perpendiculaire à la surface de celui-ci. Ceci n'est en fait vrai que pour un objet immobile sur une surface sans frottement. Ainsi, par exemple, supposons un objet posé sur un plan incliné parfaitement glissant (ou bien une boule pouvant rouler sans frottement) et retenu par un cà¢ble, alors la réaction du support est bien perpendiculaire à celui-ci.
Mais le cas est différent dans le cas d'un objet immbile sur un plan incliné, sans cà¢ble, retenu uniquement par frottement ; la réaction du support compense alors seuls le poids. Dans ce cas-là , on peut décomposer la réaction en une composante perpendiculaire au support, et une composante parallèle au support.
Nous présentons ci-dessous un autre cas o๠la réaction n'est pas perpendiculaire au support.
L'intensité de la force de frottement est déterminée par le loi de Coulomb.
Un levier est une barre rigide pivotant autour d'un point fixe.
Le pivot peut être situé à une extrémité, au milieu, ou bien à n'importe quel endroit du levier.
Le levier permet de démultiplier la force, par exemple de soulever un objet lourd avec une force réduite.
Notons qu'il ne s'agit plus vraiment là de mécanique du point puisque l'on étudie la rotation d'un objet, le levier, que l'on ne peut réduire à un point (d'ailleurs, la rotation d'un point n'a pas de sens). C'est l'équilibre de l'objet placé au bout du levier qui nous intéresse, mais ceci nécessite de s'intéresser au levier en lui-même.
Supposons le cas o๠l'on veut lever un objet.
Le levier est soumis à trois forces :
Le moment d'une force s'exerçant au point A par rapport au pivot P
est le nombre algébrique dont la valeur absolue vaut
On peut à l'aide de cette notion énoncer le loi de l'équilibre en rotation :
Les balances à masse coulissante utilisent ce principe pour peser.
Notez bien qu'il faut que les moments soient tous calculés par rapport au même pivot. Par exemple, si l'on a deux leviers agissant l'un sur l'autre mais pivotant chacun sur un point différent, on ne peut pas écrire l'égalité des moments au point de contact.
On peut faire changer cette force de direction à l'aide d'une poulie.
La poulie est en soi un objet qui est soumis à des forces ; si elle est à l'équilibre (elle ne bouge pas, ne tourne pas), alors la somme des forces est nécessairement nulle, et la force de leurs moments est elle aussi nulle.
poulie, démultiplication des forces (cabestan, levier).Principe de l'action et de la réaction
les conditions d'équilibre s'écrivent
soit au final
on voit donc que le cà¢ble transmet intégralement les efforts, pour le plafond, tout est comme si le solide était attaché sans intermédiaire.Réaction du support et frottement statique
est appelée force de frottement statique.
Levier, moment d'une force
à€ l'équilibre, la somme des trois forces s'annulent,
mais cela ne suffit pas à étudier le problème :
on ne sait pas quelle est la répartition des forces entre l'action du pivot et l'action de la personne.
On introduit pour cela la notion de moment par rapport au pivot.
o๠d est la distance du pivot à la droite portant le vecteur force ;
le moment est positif si la force tend à créer une rotation dans le sens positif
(sens inverse des aiguilles d'une montre.).
La longueur d est appelée bras de levier.
On a donc maintenant une deuxième équation qui va permettre de déterminer et :
On peut déjà dire que , on a donc
Si d1 est le bras de levier de et d2 le bras de levier de ,
alors on a
donc si d2 > d1,
alors F1 > F2.
On voit donc que si le bras de levier est plus long du cà´té de la personne que du cà´té de l'objet,
la personne devra faire un effort réduit pour maintenir l'équilibre (c'est-à -dire concrètement pour soulever l'objet) : la force exercée par le pivot sur le levier participe à soulever l'objet.
Dans le cas contraire, l'objet sera plus difficile à soulever qu'à la main directement.
L'image ci-dessous montre deux manières de soulever une commode en s'aidant d'un levier :
en prenant appui sur le sol (figure du haut, le pivot est à l'extrémité du levier)
ou bien sur un objet intermédiaire (figure du bas, le pivot est situé sur le levier).Poulie
