Miroir
| Sommaire |
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2 Utilisation des miroirs 3 Symbolique des miroirs 4 Inversion de l'image 5 L'inversion des rotations: 6 La loi physique de la réflexion 7 Voir aussi |
Un miroir est une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme. C'est souvent une surface métallique, qui, pour être protégée, est placée sur une plaque de verre. L'adjectif relatif au miroir est spéculaire.
On peut se voir en utilisant le reflet à la surface de l'eau ou dans une vitre ; dans ce cas on a une reflexion partielle tandis qu'avec un miroir parfait la réflexion est totale.
On peut aussi obtenir de la réflexion totale lorsqu'un rayon passe d'un milieu d'indice de réfraction élevé vers un milieu d'indice faible, sous une incidence rasante ; par exemple lorsqu'un rayon passe de l'eau dans l'air, ou bien du verre dans l'air. Cette propriété est utilisée pour les prismes à reflexion totale.
Lorsque l'on dit que la surface d'un miroir doit être polie, cela signifie que l'on ne doit voir aucun défaut, afin que la réflexion de l'onde se fasse dans la direction voulue. La taille du défaut visible est de l'ordre de la longueur d'onde de l'onde électromagnétique. Ainsi, avec la lumière visible, les défauts doivent être plus petit que 0,01 μm, ce qui est très contraignant. Par contre, avec les ondes utilisées par la télévision, le défaut doit être plus petit que 0,1 mm seulement, ce qui explique que les paraboles de télévision (qui sont des miroir permettant de concentrer, de focaliser les ondes émises par les satellites) soient rugueuses à l'Å“il et sous la main ; elles sont par contre parfaitement lisses pour les ondes hertziennes. Pour les radars, l'ordre de grandeur du défaut admissible est de l'ordre du cm, on peut donc utiliser un grillage comme miroir... De même que pour certain radiotélescopes.
La première utilisation des miroirs fà»t sans doute pour se regarder soi-même (coquetterie).
Archimède, entre 215 et 212 av. J.-C, se servit de miroirs concaves pour concentrer les rayons du Soleil et enflammer les voiles des navires qui attaquaient Syracuse ("miroir ardent"). Cette propriété de focalisation est utilisée de nos jours dans les télescopes ainsi que pour le four solaire d'Odeillo.
Le champ de vision humain est limité. En réfléchissant les rayons venant d'une autre direction, un miroir permet d'étendre ce champ de vision dans d'autres directions (mais il masque une partie du champ de vision direct) ; c'est le principe des rétroviseurs d'automobile.
Un miroir bien placé permet de voir derrière un objet ; par exemple, le coiffeur met un miroir derrière la tête du client pour que celui-ci puisse voir, dans le miroir lui faisant face, la coupe vue de derrière. Les dentistes utilisent un petit miroir au bout d'une tige pour voir l'arrière des dents. Les services de sécurité, police ou douane peuvent inspecter le dessous d'un véhicule, d'un meuble bas ou le dessus d'une armoire avec un système similaire.
Les miroirs évoqués ci-dessus ont pour but de donner une représentation fidèle (ou légèrement déformée mais agrandie) des objets. Mais un miroir peut aussi donner une vision volontairement déformée, par exemple dans les miroirs déformants des attractions de foire.
Les miroirs réfléchissent les rayons de manière symétrique. Ainsi, si l'on voit un objet, à partir de l'orientation du miroir (angle que fait sa surface avec l'axe de vision), on peut déterminer la direction dans laquelle se trouve l'objet observé. Ce principe est utilisé dans les sextants pour déterminer la hauteur d'un astre (angle par rapport à l'horizon), et par les géomètres pour déterminer les distances.
Un miroir peut réfléchir un rayon lumineux vers l'endroit d'o๠il vient, après avoir parcouru une certaine distance. Le temps de trajet de la lumière a ainsi servi à la mesure de la vitesse de la lumière. Cette vitesse étant connue, on peut se servir de cette technique pour déterminer les distances ; par exemple, on a mesuré la distance Terre-Lune à l'aide d'un laser réfléchi par un miroir placé sur le Lune par une mission Apollo.
Un miroir semi-transparent peut séparer un rayon de lumière en deux rayons identiques. Ces deux rayons ayant par la suite un trajet différent, la différence finale entre les rayons permet de connaître la différence entre les milieux traversés ou les objets rencontrés. C'est ainsi qu'en prenant un des rayons comme référence, on peut construire un hologramme. Cette technique est aussi utilisée en interférométrie ; cela peut servir en travaux pratiques d'optique pour apprendre à connaître les propriétés de la lumière, mais les interféromètres ont permis à Albert Einstein de déduire l'invariance de la vitesse de la lumière (expérience de Michelson-Morley), et on s'en sert pour étudier les ondes gravitationnelles.
Si un rayon est réfléchit et fait un aller-retour, il parcours une distance double ; à l'aide de miroirs, on peut donc avoir un grand trajet optique dans un espace réduit. Ceci est utilisé pour certaines expérience d'optique, ainsi que pour avoir des télescopes compacts.
Si un rayon est piégé entre deux miroirs,cela crée une cavité résonnante qui permet de sélectionner les longueurs d'onde ; ceci est utilisé dans les laser et permet d'avoir une lumière monochromatique
Le miroir plan renvoyant une image fidèle de la personne qui se regarde dedans, il est chargé d'une forte connotation symbolique. Il permet de se voir tel que l'on est, notamment avec ses défauts. Il est souvent associé à la vérité, comme par exemple le miroir magique de Blanche Neige.
C'est aussi un symbole fort de la mythologie japonaise, du shintoà¯sme ; c'est un des attributs de la déesse su Soleil Amaterasu (ou Ameratsu).
Le psychanaliste Jacques Lacan définit le "stade du miroir", qui est le moment o๠l'enfant a conscience qu'il se voit lui-même dans un miroir.
On dit souvent que le miroir inverse la gauche et la droite. Cette formulation est délicate à comprendre, et amène des questions du type :
En fait, le miroir inverse le devant et le derrière (par rapport au plan réfléchissant du miroir). Ainsi, si l'on pose un miroir vertical, la partie réfléchissante regardant vers le Nord, et que vous vous tenez face au miroir : vous regardez vers le Sud, et votre image regarde vers le Nord. Mais si vous levez la main cà´té Ouest, c'est aussi la main cà´té Ouest de l'image qui se lève.
En terme mathématique, l'image, pour un miroir plan,est la symétrie orthogonale de l'objet par rapport au plan du miroir (cf. plus bas)et c'est ainsi qu'il faut raisonner.
l'inversion gauche droite est un cas particulier des inversions des rotations. Le miroir plan fait d'un vecteur, une image qui en est le symétrique, on parle alors de symétrie miroir. Les vecteurs sont utilisés pour représenter les positions relatives, par exemple la position relative des pieds et de la tête d'une personne peut être représentée par une flèche allant des pieds à la tête.
Par contre, pour représenter les rotations on utilise le produit vectoriel : si ox est à 3 heures et oy à 12 heures alors oz est dirigé perpendiculairement au cadran mais de façon orientée:
Tracer deux vecteur
sur un bout de papier et représenter l'angle orienté allant de l'un à l'autre par une petite flêche courbe.
Placez vous devant un miroir:Il est facile de constater que le sens de rotation est inversé par le miroir.
C'est aussi simple que cela!
Par convention, en mathématiques, on choisit le sens positif comme étant le sens inverse des aiguilles.
Ainsi toutes les notions liées à la notion de rotation sont inversées par les miroirs :
Dans le miroir, la terre tourne... en sens inverse , gauche droite s'inverse tout comme le champ magnétique.
Lorsque une personne est face à vous c’est qu’elle a fait une rotation de 180 ° : conséquence sa main droite est face à votre main gauche.
Avec la symétrie miroir, vous n'avez pas tourné de 180 °, et si les vecteurs-positions sont les symétriques, les vecteurs-rotation (par exemple ceux représentant la position des doigts autour de la paume) sont eux les anti-symétriques, c'est-à -dire les symétriques changés de sens.
La loi de la réflexion est un des fondements de l'optique géométrique ; elle a été découverte indépendamment à quelques années d'intervalle par Snell et Descartes. Elle indique que :
Cette loi permet de construire de manière géométrique la déviation des rayons, et la position de l′image, c'est-à -dire de l'objet fictif que semblent voir les yeux lorsqu'ils observent le reflet d'un objet réel un miroir, ou plutà´t l'objet recomposé par le cerveau à partir de ce que reçoivent les yeux.
Définition d'un miroir
Vase se reflétant dans un miroirUtilisation des miroirs
Symbolique des miroirs
Inversion de l'image
Mettez un miroir au sol, montez dessus, et vous pourrez dire que le haut et le bas sont inversés... Il se trouve que par ailleurs, la gauche et la droite sont des notions qui dépendent de l'observateur tout comme le haut et le bas. Ainsi si vous vous tenez face à une personne, votre bras gauche est de son cà´té droit. De même, le haut et le bas sont définis par la Terre et deux observateurs situés aux antipodes l'un de l'autre auront du mal à décider duquel est à l'endroit ! C'est pour ces raisons qu'il vaut mieux éviter de parler d'inversion d'image en terme de gauche et droite.L'inversion des rotations:
Autre propriété :
La loi physique de la réflexion
autrement dit :
Réflexion sur une surface : l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence
Le cerveau interprète les rayons comme s'ils venaient d'un objet fictif
| Miroir plan de profil |
- l'image donnée par un miroir plan est le symétrique de l'objet.
On dit que le miroir plan est parfaitement stigmatique pour tout point de l'espace.
Cette notion est simple si on utilise la géométrie et que l'on construit plusieurs rayons issus de A. On constate que ces rayons proviennent de l'image A après réflexion sur un miroir plan (ce n'est pas le cas avec la plupart des instruments d'optique qui fonctionnent dans des conditions de stigmatisme approché, appelées aussi les conditions de Gauss )
Dans le cas d'un miroir courbe, on considère localement le plan tangent à l'endroit de l'impact du rayon sur le miroir, et on applique la loi de la réflexion à ce plan tangent.
Le miroir est dit convexe si les rayons se réfléchissent à l'extérieur de la calotte (comme sur la figure ci-dessus), et concave si la réflexion se produit à l'intérieur de la calotte (comme sur la figure ci-dessous).
Notons que dans l'absolu, les miroirs courbes ne sont pas stigmatiques. En effet, les rayons partant d'un point ne se croisent pas tous au même point après avoir été réfléchis par le miroir, mise à part pour quelques points particulier (dans le cas du miroir sphérique, seuls le centre et les points du miroir donnent une "image unique"). Cependant, si l'on respecte les conditions de Gauss, c'est-à -dire :
Pour la distance, la notion de "proche" fait référence au rayon de courbure : la distance entre le sommet de la calotte située sur l'axe optique et le point d'impact du rayon est petit devant la courbure. Pour l'angle, dans le cas d'un miroir sphérique, cela signifie que l'angle α entre le rayon passant par le centre et la normale à l'impact du rayon vérifie : cos(α) est petit devant 1, ou plus précisément si ε désigne la distance entre le point émetteur A et le centre C, alors 2.(ε/r).cos(α)<<1.
Certains mirois courbes sont fréquemment utilisés en raison de leur propriétés particulières. Ce sont des miroirs dont la surface est obtenue en faisant tourner une conique (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) autour de leur axe (la surface s'appelle respectivement une sphère, un ellipsoà¯de de révolution, un paraboloà¯de de révolution et un hyperboloà¯de de révolution). La notion mathématique de foyer de la conique (point permettant, avec la droite directrice et l'excentricité, de caractériser la conique) ne recoupe en général pas celle de foyer en optique géométrique (point o๠convergent les rayons venant de l'infini après déviation), sauf dans le cas de la parabole. Les courbes génératrices étant soit fermées, soit d'extension infinie, les miroirs réels sont donc des surfaces tronquées.
Un miroir parabolique est un miroir dont la forme est une portion de paraboloà¯de de révolution.
Les miroirs paraboliques concaves sont beaucoup utilisés pour produire des faisceaux de lumière parallèles, notamment dans des projecteurs ; ainsi, la lumière reste "concentrée" dans un cylindre, l'intensité lumineuse de la tache projetée ne diminue que peu avec la distance.
Ceci provient d'un propriété géométrique de la parabole : si l'on met une lampe au foyer de la parabole, les rayons réfléchis ressortent parallèles à l'axe de la parabole (le foyer géométrique est ici confondu avec le foyer optique).
Un miroir elliptique épouse la forme d'un ellipsoà¯de de révolution. On utilise des miroirs elliptiques concave pour former un faisceau lumineux convergent, par exemple dans les lanternes de projecteurs de cinéma. En effet, selon une propriété géométrique des ellipses, un rayon partant d'un foyer est réfléchi vers l'autre foyer (il s'agit là des foyers au sens géométrique, et non pas d'un point permettant la création d'un faisceau parallèle).
Ainsi, on place la lampe à un des foyers et le centre optique de l'objectif à l'autre foyer, ce qui permet de concentrer le flux de lumière.
Un miroir sphérique est constitué d'une calotte sphérique, sa génératrice est un cercle.
La calote est une sphère tronquée par un plan, l'intersection de ce plan et de la sphère forme un cercle, qui est l′ouverture du miroir. L
Alors que le foyer au sens mathématique est le centre de la sphére, le foyer au sens optique se situe, dans le cas d'un miroir concave, sur l'axe du miroir à mi-chemin entre le rayon et la surface (tout rayon passant par le foyer est réfléchi parallèle à l'axe). De ce fait, les miroirs sphériques concaves sont parfois utilisés dans des projecteurs pour former un faisceau de lumière parallèle, ou bien dans les télescopes pour focaliser la lumière des étoiles.
Tout rayon lumineux passant par le centre est un rayon (au sens géométrique) de la sphère, il est donc perpendiculaire à la surface. Il va donc se réfléchir en gardant la même direction, c'est-à -dire qu'il va partir en sens inverse, suivant le même chemin. En raison de cette propriété, les miroirs sphériques concaves sont en général utilisés comme contre-miroir pour améliorer le rendement de projecteurs : les rayons issus de l'ampoule et partant directement vers l'avant sont "rabattus" vers le miroir principal (elliptique, parabolique ou sphérique) et contribuent donc au faisceau convergent ou parallèle.
Dans le cas par exemple d'un projecteur à miroir parabolique, sans contre-miroir (figure de gauche), une partie du faisceau se perd et forme un halo diffus qui ne contribue pas au faisceau parallèle ; ce halo s'étend lorsque l'on s'éloigne du projecteur, et l'intensité de ce halo diminue.
Avec un contre-miroir sphérique (figure de droite), tous les rayons sont récupérés, mais on a une tache sombre au centre. L'intensité récupérée par le contre-miroir est plus importante que l'intensité perdue dans la tache sombre ; par ailleurs, le faisceau n'étant pas parfaitement parallèle, la tache sombre s'estompe lorsque l'on s'éloigne du projecteur. Le réglage du contre-miroir est parfois délicat, son usage n'est donc pas systématique.
Le miroirs sphériques convexes sont souvent utilisés pour agrandir une image, comme par exemple dans le cas des miroirs servant à l'inspection buccale par les dentistes.
Soit I le point de réflexion sur la calotte sphérique, la normale en ce point passe par le centre de C la calotte sphérique, et est la bissectrice du secteur angulaire formé par le rayon incident et le rayon réfléchi. Tout se passe dans le plan (IA, IC , IAi).
Tous les rayons sont devant le miroir et tout ce qui est derrière le miroir n'est pas réel, on le dit virtuel et on le dessine en pointillés.
La tangente en I est la bissectrice extérieure. En géométrie, on montre que deux droites et leurs bissectrices forment un faisceau harmonique, on obtient sur une droite Ox coupant ces droites en T, A, C, et Ai, les formules suivantes.
En changeant de formalisme : CA = (a - c) = abscisse de l'extrémité - abscisse de l'origine, on a :
Aux petits angles, on remplace t par s et l'on est dans l'approximation dite de Gauss ou des petits angles.
Si on prend le milieu de [SC] comme origine, c'est-à -dire m = 0, on obtient
Ces formules permettent de calculer la position et la taille de l'image d'un objet AB placé en x.
En positionnant l'objet en différentes abscisses, c'est-à -dire que B se déplace sur une droite parallèle à l'axe qui coupe le miroir en I tel que SJ = AB, on constate que l'extrémité de l'image Bi se déplace sur la droite oblique passant par F et I. Cette droite est le lieu des Bi l'image de B.
De plus B, Bi et C sont alignés (rayon normal à la surface réfléchissante).
Ces constatations permettent une construction géométrique de l'image.
Les constructions ci-dessus sont fausses ; pour s'en convaincre, il suffit de tracer un troisième rayon.
Derrière le miroir tout est virtuel, il n'y aucun rayon ; les rayons virtuels sont représentés en pointillé. Devant le miroir, tout est réel. Les foyers objet et image sont confondus au milieu de SC.
L'image Bi du point B est à l'intersection de BC avec IF (I étant le point d'impact du rayon issu de B et parallèle à l'axe du miroir).
Miroir courbe
Réflexion sur un miroir courbe convexe, plan tangent au point d'impact
alors, on peut considérer que le miroir est quasimnent stigmatique.
Stigmatisme approché d'un miroir sphérique ; la figure de gauche montre qu'un point ne donne pas une image unique cette figure est donc fausse; la figure de droite définit les notations utilisées ci-dessusMiroirs courbes particuliers
Miroir parabolique
Miroir elliptique
Miroir sphérique
Projecteur à miroir parabolique : sans contre-miroir (figure de gauche), avec un contre-miroir sphérique (figure de droite)Formules
si on est aux petits angles (conditions de Gauss), on peut confondre T et S et alors :
Il y a là la seule formule à connaître sur les miroirs sphériques, les autres formules s'en déduisent par quelques transformations algébriques simples et en prenant des origines particulières en S, C …ou F.
en développant, on peut exprimer ai, l'abscisse du milieu de C et T, en fonction de a, c et t ; on obtient :
Cette relation est connue sous le nom de fonction homographique avec une asymptote horizontale ai = m lorsque a est grand, et une asymptote verticale lorsque a = m.
devient la formule
souvent écrite, en prenant comme origine S (s = 0) ou C (c = 0)
1 / a + 1 / a' = 1 / m
mais cette dernière formule n'est valable que seulement si on peut confondre S et T , c'est-à -dire dans le cas de petits angles. On dit aussi dans des conditions de stigmatisme approché ou encore dans les conditions de Gauss.
Donc pour un miroir sphérique, la position de l'image en fonction de la position de l'objet est donnée par
Le grandissement transversal est
et le grandissement longitudinal est
Remarque : l'image et les points concernant l'image sont parfois désignée par « ′ » (prime) et parfois par l'indice « i ».Construction géométrique
Construction d'une image pour un miroir convexe (gauche) et concave (droite)
''le Schéma donne la position correcte de l'image: celle donnée par le calcul Rayons particuliers
Voir aussi
Optique - Lentille - Doublet - Stigmatisme - Focalisation (optique)
