Moment (mécanique)

En mécanique, le moment est une adaptation des notions de masse et de force pour le cas particulier de la rotation.

En effet, pendant une rotation, chaque point du solide décrit une trajectoire propre, et notamment subit une accélération propre (inversement porportionnelle au carré du rayon de la trajectoire). Lorsque l'on étudie chaque point séparément et que l'on intègre les lois de la mécanique sur tout l'objet, il apparaît des grandeurs dépendant de l'axe de rotation, appelées moment d'inertie, moment de la force et moment cinétique. L'utilisation de ces grandeurs permet de simplifier les calculs.

Sommaire

1 Moment d'une force 2 Moment d'inertie 3 Moment cinétique 4 Utilisation des moments 5 Voir aussi

Moment d'une force

Plaçons nous tout d'abord dans le cas d'un mouvement dans le plan.

Le moment d'une force s'exerçant au point A par rapport au pivot P est le nombre algébrique dont la valeur absolue vaut

o๠d est la distance du pivot à  la droite portant le vecteur force ; le moment est positif si la force tend à  créer une rotation dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre.). La longueur d est appelée bras de levier.

Si la force est perpendiculaire au levier, alors d est simplement la distance PA entre le pivot et le point d'application. Sinon, il faut prolonger la droite passant par le point d'application et portant le vecteur, d est alors la distance du pivot à  sa projection orthogonale sur cette droite. D'une manière générale, on peut écrire

o๠α est l'angle .

Plus le moment d'une force par rapport à  un pivot est grand, plus cette force aura tendance à  mettre le levier en rotation. On retrouve deux notions intuitives :

• plus le bras de levier est long, plus il est facile de soulever un objet
• il est plus facile d'exercer un effort perpendiculairement au levier.

On remarque également que :

• une force s'appliquant au pivot a un moment nul
• une force dans l'axe du levier a un moment nul

puisque dans les deux cas, d est nul.

Dans l'espace, on considère la rotation de l'objet par rapport à  un axe.

On peut définir le vecteur-moment de la force par rapport à  l'axe Δ par

ce vecteur est normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par ).

Moment d'inertie

Considérons un objet est composé de plusieurs points solidaires i de masse m_i. Cet objet tourne autour d'un axe Δ, et la distance de i à  Î” est r_i. On définit alors le moment d'inertie par rapport à  l'axe M_i/Δ par  :

M_i/Δ = Σ_i r_i² · m_i

Si le solide est un solide continu, on peut définir en chaque point x du solide une masse volumique Ï�, le moment d'inertie vaut alors

M_i/Δ = ∫ d ²(x,Δ) · Ï� dV

oà¹

• d(x,Δ) est la distance entre le point x et l'axe Δ et
• dV est un petit volume autour de x.

Moment cinétique

Si une particule de masse m décrit un cercle de centre r à  une vitesse de norme constante v, alors son moment cinétique M_cvaut :

M_c = r · m · v.

Dans le cas général, si est le vecteur normal à  l'axe de rotation et relaint cet axe au point matériel, et si est la quantité de mouvement (ou impulsion) du point matériel, alors

Utilisation des moments

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique en rotation.

On peut aussi montrer que si est le vecteur vitesse angulaire, c'est à  dire le vecteur

• colinéaire à  l'axe de rotation Δ,
• dont la norme est la vitesse angulaire
• et orienté le que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation),

alors

Voir aussi

• Mécanique statique