Nombre surréel et pseudo-réel
Les nombres surréels (surreal numbers en anglais) sont une classe de nombres qui inclut tous les nombres réels ainsi que tous les ordinaux transfinis, leurs inverses, etc.
Ils ont été introduits par John Conway, et popularisés ensuite par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels: comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total).
La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind.
Elle se fait par induction transfinie.
On construit de nouveaux nombres en les représentant à l'aide de deux ensembles de nombres déja construits, L et R (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre, noté { L | R }, ainsi construit sera plus grand que tout nombre de L et plus petit que tout nombre de R, selon l'ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur L et R: il faut que chaque nombre de L soit plus petit que chaque nombre de R.
;Règle de construction: Si L et R sont deux ensembles de nombres surréels et qu'aucun membre de R est inférieur ou égal à un membre de L alors { L | R } est un nombre surréel.
Étant donné un nombre surréel x = { XL | XR }, les ensembles XL et XR sont appelés l'ensemble de gauche de x et l'ensemble de droite de x, respectivement. Pour éviter l'inflation de parenthèses, on abrégera { {a, b, ... } | { x, y, ... } } en { a, b, ... | x, y, ... } et { {a} | {} } en { a | } et { {} | {a} } en { | a }.
Pour que la définition ci-dessus aie un sens il faut définir une relation "inférieur ou égal" (notée ≤) sur les nombres surréels. Voici:
;Règle de comparaison: pour des nombres surréels x = { xL | xR } et y = { yL | yR } on pose que x ≤ y si et seulement si y n'est inférieur ou égal à aucun membre de xL, et aucun membre de yR n'est inférieur ou égal à x.
Cette définition n'est pas antisymmétrique : il n'est pas toujours vrai que pour deux nombres surréels x et y, si x ≤ y et y ≤ x alors x et y sont identiques (xL = yL et xR = yR). Pour contourner ce problème, on définit une relation d'équivalence sur les nombres réels comme suit:
;Désignons par Nt, pour un ordinal t, l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape t, de sorte que N0 = {0}. On appelle date de naissance d'un nombre surréel n le plus petit ordinal t tel que n appartient à Nt.
Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes sont les rationnels diadiques (c'est-à -dire les nombres o๠p et n sont entiers).
On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite soit inférieur o๠égal à aucun élément de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.
Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie combinatoire des jeux initiée par John Conway.Construction des nombres surréels
Pour être rigoureux, il faut dans la règle de construction demander que les ensembles de droite et de gauche ne contiennent que des nombres créés lors d'une étape précédente de l'induction transfinie. Lors de la première étape (t=zéro), aucun nombre surréel précédent n'existe, mais {{}|{}} (abrégé en {|}, et appelé 0) peut néanmoins être défini grà¢ce à l'ensemble vide. Nombres pseudo-réels
