Paradoxe
Un paradoxe est une affirmation apparemment vraie qui est en fait une contradiction logique ou une situation qui contredit l'intuition commune. Les paradoxes basés sur des concepts simples ont toutefois amené à de grands progrès en sciences, philosophie ou mathématiques.
Étymologiquement, para doxa signifie « opposé au sens commun ». à€ l'origine, un paradoxe est une idée qui va contre le sens commun. Le concept de contradiction, qui est l'usage courant du terme aujourd'hui, n'est apparu que plus tard.
Cinq paradoxes liés à la relativité restreinte sont présents dans l'article qui lui est consacré, sous la désignation d' expériences de pensée.
(Voir Zénon d'Élée, paradoxes de Zénon)
Il est impossible qu'Achille rattrape une tortue devant lui : pendant un court temps t, la tortue avance de x et Achille de X. Puis pendant le temps t/2, La tortue avance de x/2 et Achille de X/2 et ainsi de suite. De même, une flèche tirée d'un arc n'atteindra jamais un arbre. Quiconque connait les sommes de suites géométriques saura que cette série converge et qu'il n'y a pas de paradoxe.
Plus précisément, le paradoxe vient de la confusion entre un algorithme décrivant par une série infinie d'étapes un processus fini et un un processus de durée infinie. Il s'agit d'un exemple classique de confusion de la carte et du territoire (voir Alfred Korzybski).
Épiménide de Crète / Eubulide de Mégare
"Je mens en ce moment même". Si la phrase est vraie, alors c'est qu'elle est fausse. Mais si elle est fausse, alors elle devient vraie !
Cela indique simplement qu'une phrase ne peut se prendre elle-même pour énoncé que lorsque cela conduit à une situation stable, et pas dans les autres cas. (voir pangramme autodescriptif).
Euathlos était un élève pauvre de Protagoras qui lui avait permis de suivre son enseignement
à la condition suivante : si Euathlos gagne son premier procès, il doit impérativement rembourser Protagoras, par contre s'il perd,
l'enseignement de Protagoras n'ayant pas porté ses fruits, ce dernier ne doit rien réclamer à son ancien élève. Finalement c'est Protagoras lui-même qui assigne Euathlos en procès ! Ainsi : « si je suis vainqueur, il me faut recevoir de l'argent, parce que le suis vainqueur, et si c'est toi, de même il m'en faut recevoir, parce que tu l'es. »
Dans les deux cas de figure Protagoras se voyait remboursé de son enseignement... pourtant si Euathlos à compléter
Il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9, etc.) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.
En fait, le « nombre » d'entiers aussi bien que de carrés est le premier transfini, ‪ℵ{}. Les lois de composition des transfinis ne sont pas celles des nombres finis qui les composent. ℵ{} au carré est égal à ℵ{}.
Les mathématiciens du XVIIIe siècle ont essayé d’appliquer les règles de calcul sur les nombres réels aux nombres complexes, par exemples :
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PS : faire attention à ce qui est dis sur internet, ici par exemple ceux qui ont suivi des cours de maths au lycée savent que la racine carré n'est defini que pour des réels positifs, ainsi racine carré de -1 ne veut strictement rien dire. De même pour la fonction log, log d'un nombre négatif n'a aucun sens mathématiquement. Merci de ne pas dire n'importe quoi. (voir d'ailleurs plus loin "paradoxe de i").
Le paradoxe mis à jour par Joseph Bertrand (1822-1900), de l'Académie française, révèle les limites du recours à l'intuition en probabilités. Ce mathématicien propose de tracer au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au cà´té du triangle équilatéral inscrit. Le paradoxe est que la réponse dépend du protocole de choix de la corde. Chacune des réponses "une chance sur deux", "une chance sur trois" ou "une chance sur quatre" peut être justifiée.
L'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, est membre de lui-même si et seulement s'il ne l'est pas. Ce paradoxe a été trouvé dans l'axiomatique de Gottlob Frege par Bertrand Russell.
L'ensemble de tous les ordinaux ne possède pas lui-même d'ordinal du fait que cet ordinal doit être nécessairement
plus grand que chacun des membres de cet ensemble qui, par là même et en dépit de sa définition, ne contient pas cet ordinal.
Est hétérologique un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple : « long » est un mot hétérologique en ceci qu'il n'est pas « long » !
Ainsi selon cette définition, le mot « hétérologique » est hétérologique si et seulement si il ne l'est pas.
Même explication que le paradoxe d'Epiménide.
Si je dis "Tous les corbeaux sont blancs", cette phrase implique que "Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux". Pour renforcer par un processus d'induction ma conviction que "Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux", je peux fort bien rester dans ma chambre, y trouver dix mille objets non blancs, et vérifier que ce sont bien tous des non-corbeaux. Une loi qui se vérifie sur dix mille observations sans la moindre exception est certainement valide, n'est-ce pas ?
Réponse : non. Tout ce qui a été établi, c'est qu'aucun objet non blanc contenu dans ma chambre n'est un non-corbeau. En logique inductive, il faut toujours préciser le contexte d'une observation (voir probabilité conditionnelle).
Dans l'espace de dimension 3, il est possible de découper une boule en deux parties identiques à la première boule. Le découpage n'est bien sà»r pas trivial.
« Les nombres complexes sont définis par rapport à une valeur nommée i et dont le carré est défini comme -1. Mais il existe nécessairement deux telles valeurs, car si x a pour carré X, -x a le même. Comment savoir de laquelle des deux valeurs nous parlons ? »
La levée de ce paradoxe est une très belle illustration du principe de relativité : elle consiste à remarquer tout simplement que lorsque nous avons dit que le carré de i est -1, nous avons déjà dit tout ce qu'il y a à dire sur i. Assurément, le carré de -i sera également -1, mais cela ne fait que nous indiquer que toute relation vraie ou apparaît le nombre i le reste si on le remplace par -i : on ne peut en effet effectuer de distinction fonctionnelle entre -i et i. Ils n'ont de différence qu'en opposition l'un à l'autre (voir Le cru et le cuit).
Il est laissé à l'initiative du lecteur de vérifier que e{} = -1.
Ce paradoxes est énoncé par Nelson Goodman en 1946, étudié par Watanabe dans son livre Knowing and guessing.
Nommons « vleu » l'adjectif signifiant « vert jusqu'au 31 décembre 2100 et bleu ensuite ». L'observation ne me permet en rien de distinguer un objet vleu d'un objet vert avant cette date. La logique inductive ne permet donc en rien de dire quelque chose de tangible sur le monde.
La levée de ce faux paradoxe est des plus simples : la probabilité qu'on attribuera à un objet d'être vleu sera nécessairement liée :
Pour enfantin qu'il paraisse, ce paradoxe a été très utile pour aider à fixer les mécanismes sous-jacents à la logique inductive, et en particulier sur l'importance, au début sous-estimée, de la notion de contexte.
La réponse ne fait plus aucun doute aujourd'hui : l'oeuf est apparu quelques millions d'années avant la poule. Les dinosaures pondaient des oeufs à une époque o๠n'existait pas encore la moindre poule.
Mais sans doute le lecteur voudra-t-il savoir ce qui est apparu le premier, de la poule ou de l'oeuf de poule. Il ne tiendra qu'à lui alors de préciser s'il définit un oeuf de poule comme un oeuf pondu par une poule ou comme un oeuf donnant naissance à une poule : la poule le précède dans le premier cas (par définition) alors qu'elle le suit dans le second (par définition aussi).
La mutation conduisant de l'animal qui a précédé la poule (on pourrait le nommer une protopoule) à la poule elle-même ne peut bien entendu que s'être manifestée en premier dans l'oeuf, puisqu'elle est héréditaire.
Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe. Or les cas possibles sont les suivants :
Or un tel choix serait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom.
(non élucidé de façon vraiment satisfaisante, hors considérations bayésiennes)
Exemples de paradoxes, et leur élucidation
Paradoxe d'Achille ou de la flèche
Paradoxe du menteur
Paradoxe de l'avocat
Paradoxe de Galilée ou de Georg Cantor
Paradoxes sur les nombres complexes
Ces deux paradoxes tiennent au manque de précision dans la définition des nombres complexes et à la perte de propriétés de certaines opérations lors du passage aux nombres complexes.Paradoxe de Bertrand
Paradoxe de Bertrand Russell
Paradoxe de Burali-Forti
Paradoxe hétérologique de Grelling
Paradoxe de Berry
Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre
Paradoxe de Richard
Paradoxe de Skolem
Paradoxe de Banach-Tarski
Paradoxe de « i » ou des deux racines carrées
Paradoxe de Goodman, dit de l'émeraude « vleue »
C'est donc nécessairement cette seconde estimation qui sera utilisée, associant par conséquent une très faible probabilité à l'émeraude d'être vleue.Le chien et le mammifère
Il faut moins de lettres pour écrire « chien » que « mammifère ». Pourtant l'indication « Médor est un chien » contient bien plus d'information que l'indication « Médor est un mammifère » : le contenu d'information sémantique d'un message dépend du contexte. En fait, c'est le couple message + contexte qui constitue le véritable porteur de l'information, et jamais le message seul (à développer complètement, avec un lien sur théorie de l'information).Le compresseur OS/2
Alors que le vieux DOS tenait sur trois disquettes, le système d'exploitation OS/2 en demandaiit dix-sept. Une légende veut :
L'idée sous-jacente est celle de la complexité de Kolmogorov : il existe pour représenter quelque chose une complexité en-dessous de laquelle on ne peut pas descendre, sauf à la reporter artificiellement dans le contexte.L'oeuf et la poule
C'est l'un des plus anciens paradoxes, et aujourd'hui l'un des plus faciles à lever : "Qu'est-ce qui est apparu en premier : la poule ou l'oeuf ?"Les deux chèques
Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. On fait choisir une enveloppe à un candidat.
L'espérance de gain siu on change d'enveloppe paraît donc être 0,5 * 2N + 0,5 * N/2, soit 1,25 N, qui est supérieur à N. Il faudrait donc changer d'enveloppe.Paradoxe en barbara
donc :Paradoxe de Condorcet
Voir Paradoxe de Condorcet, autorégulation...
