Produit cartésien

Deux ensembles X et Y, étant donnés, le produit cartésien de deux ensembles, noté X à— Y est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à  X et la deuxième composante appartient à  Y.

X à— Y = { (x,y) | x dans X et y dans Y }

Par exemple, si X est l'ensemble suivant {A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} et Y l'ensemble {pique, cÅ“ur, carreau, trèfle}, alors le produit cartésien des ces deux ensembles est l'ensemble à  52 éléments suivant { (A, pique), (R, pique), ... (2, pique), (A, cÅ“ur), ... (3, trèfle), (2, trèfle) }.

Dans le cas o๠X=Y, on note X² le produit cartésien de X par lui-même.

Un autre exemple est le plan o๠est l'ensemble des nombres réels.

Les sous-ensembles de produits cartésiens sont par définition des relations binaires.

Le produit cartésien binaire peut être généralisé au cas du produit cartésien n-aire de n ensembles X₁,... ,X_n:

X₁ à— ... à— X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ dans X₁ et ... et x_n dans X_n }

Le produit cartésien peut être identifié à  (X₁ à— ... à— X_n-1) à— X_n. C'est un ensemble de n-uplets.

Dans le cas o๠X₁= ... =X_n=X, on note Xⁿ le produit cartésien.

Un exemple de tel produit est l'espace euclidien de dimension 3 , o๠est l'ensemble des nombres réels.

Le produit cartésien porte le nom de René Descartes. La formulation du produit cartésien en géométrie analytique a donné naissance à  ce concept.

Voir aussi Mathématiques -- Théorie des ensembles