Vecteur
à€ l'origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. Le vecteur est, en physique, ce qui permet de modéliser diverses grandeurs telles que la vitesse, la force, le champ électrique...
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2 Définition générale 3 Usage en physique 4 Autre acception |
On peut le voir comme une flèche dont l'emplacement dans le plan n'a pas d'importance, seule compte sa longueur (ou norme), sa direction et son sens. Pour être plus précis, on définit des bipoints comme étant des couples de points (l'ordre ayant une importance) ; deux bipoints représentent le même vecteur s'ils définissent des segment parallèles entre eux, de même longueur et de même orientation. Pour être plus rigoureux, le vecteur est une "classe d'équivalence de bipoints équipollents".
On peut définir des opérations sur ces vecteurs, qui, bien que portant des noms utilisés pour les nombres, sont en fait des constructions géométriques : la multiplication d'un vecteur par un scalaire, la somme de deux vecteur, le produit scalaire ou vectoriel de deux vecteurs... Par ailleurs, on peut, comme à tous les objets géométriques, leur appliquer les transformations classiques : rotation, projection, homothétie...
Les vecteurs sont souvent notés par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple ; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère gras, par exemple u. Si le bipoint (A,B) est un des représentant du vecteur, alors on peut noter le vecteur . La longueur du vecteur s'appelle la norme, et ce en mettant le vecteur entre deux traits verticaux de chaque cà´té, (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB).
Si deux bipoints (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur (c'est-à -dire sont équipollents), on peut alors écrire :
L'angle que forment deux vecteurs et est noté ;
il est mesuré en amenant l'origine des deux vecteurs en un point
et en mesurant l'angle que font les segments.
Si (A,B) est un représentant de
et (A,C) un représentant de , alors
Vecteur en géométrie euclidienne
Le vecteur nul est le vecteur dont les représentants sont de type (A,A) (les deux points du bipoint sont confondus) ; il est noté . Il est de longueur nulle,
On définit en général une base dans le plan ou dans l'espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l'équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d'un repère). On utilise en général deux notations différentes :
L'utilisation des vecteurs en géométrie euclidienne forme la géométrie vectorielle. On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c'est-à -dire la construction d'un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d'un vecteur et d'un scalaire ; ces construction ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité, présence d'un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un nombre, de produit vectoriel...
Par extension, tous les objets ayant les mêmes propriétés algébriques que ces vecteurs géométriques sont appelés vecteurs ; c'est le cas par exemple des polynà´mes, des fonctions périodiques, des matrices, des nombres réels, complexes et hypercomplexess (quaternions, octonions)... Ceci a amené à la définition de la notion abstraite d'espace vectoriel.
La définition générale, en mathématiques, d'un vecteur est donc : « élément d'un espace vectoriel ».
Un vecteur est un tenseur ; si c'est un véritable vecteur, alors c'est un tenseur d'ordre 1.
La mécanique a mis longtemps à faire la part entre les propriétés des forces, et celles des solides indéformables auxquelles ces forces étaient tacitement appliquées. De là découlent de nombreuses définitions successives et incompatibles - certains vieux manuels changeaient de définition et d'acception toutes les trois pages - : « vecteurs glissants », « vecteurs liés », torseurs, etc. Ces trois dernières acceptions sont liées aux solides indéformables, et désignent des descripteurs mécaniques qui sont autre chose que des vecteurs : ils contiennent aussi une droite d'application ou un point d'application, ou une droite d'application plus un couple non coplanaire à la droite.
Le mot vecteur désigne aussi ce qui transporte, exemple: les moustiques sont des vecteurs du paludisme, certains missiles sont des vecteurs de têtes nucléaires, les véhicules de secours à personne des sapeurs-pompiers sont des vecteurs de défibrillateur semi-automatique.
Etymologie : de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH, qui désignait le chariot, et qui a laissé quelques centaines de descendants dans les langues indo-européennes. En latin, vector désigne le conducteur d'un chariot.
Le réemploi de ce mot en mathématiques date de 1837, et est dà» à W.R. Hamilton.Définition générale
Usage en physique
La notion mathématique de vecteur est plus vaste : elle se réfère à un niveau d'abstraction plus élevé, et se dispense de nombreuses propriétés contraignantes, dont le physicien peut difficilement se dispenser. Pour le physicien, le vecteur est un descripteur de quelque chose, par exemple d'une translation. Le physicien est donc lié par une sémantique, dont le mathématicien ne se soucie pas.Usages abusifs
Pour des raisons historiques qui datent du XIXe siècle (les quaternions de W.R. Hamilton, en 1843), l'habitude s'est prise chez les physiciens d'appeler aussi « vecteurs » des êtres de rotation, tenseurs antisymétriques d'ordre 2. Tels sont notamment les champs magnétiques H et B, le moment magnétique, le moment d'un couple de forces, la vitesse angulaire, la vitesse aréolaire, le moment angulaire (appelé généralement en français « moment cinétique »). Or ces grandeurs tensorielles du second ordre ont un comportement opposé à celui des vrais vecteurs dans toutes les symétries, et leur comportement dimensionnel dans les changements de base est lui aussi incompatible.
Voir l'article de Pierre Curie (1894) à ce sujet, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique, résumée dans Journal de Physique, 3e série, t.III, 1894, p.393. Réimpression dans Å’uvres de Pierre Curie, pp. 118-141, Éditions des Archives Contemporaines, Paris 1984.''Autre acception
